HLM 软件：多层模型中效应量的计算与变量标准化

固定效应的大小依赖于因变量或结果变量的量纲，因此在不同研究之间或同一研究中多个变量之间比较这些结果可能存在问题。为此，研究者提出了多种标准化措施。

简单的标准化方法是在分析前对变量进行标准化，即重新缩放变量使其均值为 0、标准差为 1。另一种方法是在使用未标准化变量进行分析后，利用变量的标准差和结果变量的标准差来标准化效应。

另一种常用指标是 Cohen's d，用于表示两个均值之间的标准化差异，常用于 t 检验和 ANOVA 结果的报告，在元分析中应用广泛。其定义为：

d=(s12+s22)/2m1−m2

其中 m1 和 m2 分别为两组的均值，s12 和 s22 为两组的合并标准差。然而，若仅基于无协变量的一级模型计算该指标，可能无法有效控制二级单元成员身份及其他相关协变量。

另一种常用指标是 R2。但在多层模型中，R2 的解释远比单层线性模型复杂，尤其是引入随机斜率后。Snijders 和 Bosker（2012）提出了适用于多层模型的 R2 公式：

R2=1−σE2+τE2σF2+τF2

其中 σF2 和 τF2 分别为包含目标效应的全模型的一级和二级随机误差方差，σE2 和 τE2 则为空模型（无解释变量）的对应误差方差。该统计量基于个体水平的预测误差比例缩减。

Aiken 和 West（1991）建议使用效应量：

f2=1−R22R22−R12

其中 R22 为包含该效应的模型解释方差，R12 为不包含该效应的模型解释方差。根据 Cohen（1992）的标准，f2 值 0.02 为小效应，0.15 为中等效应，0.35 为大效应。

下面以 HSB 数据为例，展示如何获取这些效应量。

本示例中使用的变量为结果变量 MATHACH 和一级预测变量 SES。其描述性统计如下：

变量	N	下限	上限	均值	标准差
ses	7185	-3.758	2.692	0.00014	0.779355
mathach	7185	-2.832	24.993	12.74785	6.878246

在创建 MDM 文件之前，需在统计软件中对变量进行标准化。此处使用 SPSS 进行编辑：对要使用的变量请求描述性统计，并勾选“将标准化值保存为变量”复选框。标准化后的变量以 z 前缀显示为两个新增变量。

再次运行描述性统计以验证新变量的均值和标准差（记得取消勾选“将标准化值保存为变量”）。

标准化变量的描述性统计如下：

变量	N	下限	上限	均值	标准差
Zscore(ses)	7185	-4.82212	3.45395	0.0000000	1.00000000
Zscore(mathach)	7185	-2.26509	1.78027	0.0000000	1.00000000

SPSS 中获得的描述性统计结果与使用这两个标准化变量制作的 MDM 文件生成的 HLM2MDM.STS 文件中的结果一致。

首先拟合一个空模型（无预测变量），其结果如下：

接着拟合一个仅含随机截距的模型，结果如下：

拟合一个随机截距和随机斜率模型，结果如下：

由于这些模型均基于标准化变量，所有效应量也相应为标准化效应量。